위상수학
공간의 연속성·연결성·콤팩트성을 정의와 예/반례로 구별해요.
뜻
위상수학은 길이나 각보다 연속적으로 연결되는 방식, 열린집합, 연결성·콤팩트성 같은 구조를 연구합니다. 연속적으로 변형해 서로 대응하는 공간을 비교하는 것은 그중 한 관점입니다.
예제로 살펴보기
원과 타원의 둘레는 가로·세로를 늘이는 연속적인 일대일 대응과 그 연속인 역대응으로 연결됩니다. 길이는 달라도 위상적으로 같은 종류의 공간입니다. 양수 a,b로 (x,y)를 (ax,by)에 보내면 원둘레는 타원둘레로 옮겨집니다. 역대응은 (u,v)를 (u/a,v/b)로 보내며 두 방향 모두 연속이어서 위상동형입니다. 구멍 개수만으로 모든 공간을 분류할 수는 없습니다. 단순한 그림 비유를 넘어 어떤 대응과 성질을 보존하는지 정의해야 합니다.
이 개념에서 연습할 문제
학습 범위와 참고
살펴볼 내용
연속성, 연결성, 콤팩트성, 공간의 구조
학습 목표
공간의 연속성·연결성·콤팩트성을 정의와 예/반례로 구별해요.
먼저 알면 도움이 돼요
집합·함수·증명, 주제별 해석학 중 선택한 주제에 필요한 부분을 살펴보세요.
콤팩트성과 연결성의 예
일반 위상공간의 분류나 위상 불변량 전체는 확인하지 않아요.